Дискретные Математические Модели
- Дискретные Математические Модели
- Непрерывные Дискретные Математические Модели
- Робертс Дискретные Математические Модели
Модель сложной системы, рассмотренная ранее, представляет собой математическую схему моделирования общего вида. На практике для формализации концептуальных моделей ряда систем выгоднее применять типовые математические схемы моделирования, учитывающие с одной стороны способ представления времени в модели (непрерывная переменная или дискретная), а с другой стороны степень случайности моделируемых процессов. По этим признакам различают следующие математические схемы моделирования (классы ММ). Непрерывно – детерминированные модели (D – схемы). Дискретно – детерминированные модели (F – схемы). Дискретно – вероятностные модели (P – схемы). Непрерывно - вероятностные модели (Q – схемы).
- Расширение базовых непрерывных или дискретных моделей. Математические модели.
- Дискретные по U.Y. Непрерывные по U.Y. Дискретные по Т. Непрерывные по Т. Дискретные по U, Y. Непрерывные по U,Y. Дискретные по U,Y. Непрерывные по U, Y. Математический аппарат описания. Графы, таблицы соответствий, булева алгебра. Функции вещественных переменных. Конечные автоматы. Разностные уравнения. Асинхронные автоматы, сети Петри, модели теории расписаний. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
- Естественные науки / Математическое моделирование процессов в машиностроении / 2.3.6. Непрерывные и дискретные математические модели.
Сетевые модели (N – схемы). Агрегатные модели (А – схемы). Непрерывно-детерминированные модели. В этих моделях время t полагается непрерывной переменной, а случайными факторами в системе пренебрегают.
Математический аппарат моделей – теория дифференциальных и интегральных уравнений, с помощью которой достигается адекватное описание динамических систем. Наиболее глубоко разработан операторный метод описания и исследования процессов функционирования динамических систем и их структур. Примером непрерывно – детерминированной модели одноканальной системы автоматического управления является неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. (2.5) В этом уравнении x(t)- входное воздействие; y(t) – выходная величина, характеризующая положение объекта управления; - внутренние параметры системы. Если динамическая система описывается нелинейным дифференциальным уравнением, то его линеаризуют и решают как линейное. Применение непрерывно – детерминированных моделей позволяет количественно осуществлять не только анализ динамических систем, но и оптимальный синтез их. Дискретно-детерминированные модели.
Материальные и идеальные модели. Непрерывные и дискретные математические модели. Термин модель неоднозначен и охватывает чрезвычайно широкий круг материальных и идеальных объектов.
В дискретно–детерминированных (ДД) моделях время t является дискретной переменной, где – шаг дискретизации, а – дискретные моменты времени. Основной математический аппарат, используемый при построении ДД – моделей – это теория разностных уравнений и аппарат дискретной математики, в частности, теория конечных автоматов. Разностное уравнение – это уравнение, содержащее конечные разности искомой функции (2.6) где – соответственно состояние системы и внешнее воздействие в дискретные моменты времени. В прикладных задачах ДД – модели в виде (2.6) часто возникают как промежуточные при исследовании НД – моделей на ЭВМ, когда аналитическое решение дифференциального уравнения получить не удается и приходится применять разностные схемы. Кратко рассмотрим теорию конечных автоматов, которая используется для построения ДД – моделей.
Конечный автомат – это математическая модель дискретной системы, которая под действием входных сигналов вырабатывает выходные сигналы, и которая может иметь некоторые изменяемые внутренние состояния; здесь – конечные множества. Конечный автомат характеризуется: входным алфавитом; выходным алфавитом; внутренним алфавитом состояний; начальным состоянием; функцией переходов; функцией выходов. Процесс функционирования конечного автомата таков. В –м такте на вход автомата, находящегося в состоянии, поступает входной сигнал, на который автомат реагирует переходом на –м такте в состояние и выдачей выходного сигнала Например, конечный автомат Мили описывается следующими рекуррентными соотношениями: (2.7) Дискретно–вероятностные модели. В дискретно–вероятностной модели учитываются случайные элементы исследуемой сложной системы.
Основной математический аппарат, используемый при построении и исследовании ДВ – моделей, – это теория разностных стохастических уравнений и теория вероятностных автоматов. Разностное стохастическое уравнение – это такое уравнение, которое содержит случайные параметры или случайные входные воздействия. Пусть на вероятностном пространстве определен случайный – вектор параметров и случайная последовательность входных воздействий Нелинейное разностное стохастическое уравнение порядка имеет вид, (2.8) где заданные начальные состояния системы; заданная функция переменных. Решением этого уравнения является определенная на множестве случайная последовательность состояний моделируемой системы: Если функция линейная по, то (2.8) примет вид: (2.9) где вектор параметров. Другой математический аппарат построения ДВ – моделей сложных систем представляет теория вероятностных автоматов. Вероятностный автомат, определенный на множестве, есть конечный автомат, в котором функция переходов и функция выходов являются случайными функциями, имеющими некоторые вероятностные распределения. Примем обозначения для вероятностных распределений – начальное распределение вероятностей, – вероятность события, состоящего в том, что находящийся в –м такте в состоянии автомат под воздействием входного сигнала выдаст выходной сигнал и перейдет на –м такте в состояние Математическая модель вероятностного автомата полностью определяется пятью элементами:.
Непрерывно – вероятностные модели. При построении и исследовании НВ – моделей используется теория стохастических дифференциальных уравнений и теория массового обслуживания. Стохастическое дифференциальное уравнение (в форме Ито) имеет вид: где – случайный процесс, определяющий состояние системы в момент времени; – стандартный винеровский случайный процесс; – коэффициенты диффузии и переноса. НВ – модель часто используется при моделировании стохастических систем управления, процессов обмена.
Теория массового обслуживания разрабатывает и исследует математические модели различных по своей природе процессов функционирования систем, например: поставок сырья и комплектующих изделий некоторому предприятию; заданий, поступающих на ЭВМ от удаленных терминалов; вызов на телефонных станциях и т.д. Для функционирования таких систем характерна стохастичность: случайность моментов времени появления заявок на обслуживание и т.д. Система, описываемая как система массового обслуживания (СМО), состоит из приборов обслуживания. Прибор обслуживания состоит из накопителя заявок, в котором могут одновременно находиться заявок, и канала обслуживания заявок; – емкость накопителя, то есть число мест в очереди на обслуживание заявок в канале. На каждый элемент прибора поступают потоки событий; в накопитель – поток заявок, на канал – поток «обслуживаний».
Поток заявок представляет последовательность интервалов времени между моментами появления заявок на входе СМО и образует подмножество неуправляемых переменных СМО. А поток представляет собой последовательность интервалов времени между моментами начала и окончания обслуживания заявок и образует подмножество управляемых переменных. Заявки, обслуженные СМО, образуют выходной поток – последовательность интервалов времени между моментами выхода заявок. Не обслуженные заявки, но покинувшие СМО по различным причинам, образуют выходной поток потерянных заявок.
Сетевые модели используют для формализации причинно – следственных связей в сложных системах с параллельными процессами. В основе этих моделей лежит сеть Петри. При графической интерпретации сеть Петри представляет собой граф особого вида, состоящий из вершин двух типов – позиций и переходов, соединенных ориентированными дугами, причем каждая дуга может связывать лишь разнотипные вершины (позицию с переходом или переход с позицией). Вершины-позиции обозначаются кружками, вершины-переходы – черточками.
Дискретные Математические Модели
С содержательной точки зрения переходы соответствуют событиям, присущим исследуемой системе, а позиции – условиям их возникновения. Таким образом, совокупность переходов, позиций и дуг позволяет описать причинно-следственные связи, присущие системе, но в статике. Чтобы сеть Петри «ожила», вводят еще один вид объектов сети – так называемые фишки или метки позиций, которые перемещаются по переходам сети при условии наличия метки во входной позиции и отсутствии метки в выходной позиции. Расположение фишек в позициях сети называется разметкой сети.
Агрегатные модели. Анализ существующих задач приводит к выводу о том, что комплексное решение проблем возможно лишь в том случае, если моделирующие системы имеют в своей основе единую математическую схему моделирования.
Непрерывные Дискретные Математические Модели
Такой подход к формализации процесса функционирования сложной системы предложен Бусленко Н.П. 1 и базируется на понятии «агрегата». При агрегатном описании сложная система разбивается по подсистемы, сохраняя при этом связи обеспечивающие взаимодействие их. Если подсистема оказывается сложной, то процесс расчленения продолжается до тех пор, пока не образуются подсистемы, которые в условиях рассматриваемой задачи могут считаться удобными для математического описания.
В результате этого получается многоуровневая конструкция из взаимосвязанных элементов объединенных в подсистемы различных уровней. Элементами агрегатной модели являются агрегаты. Связи между агрегатами и внешней средой осуществляются с помощью операторов сопряжения. Сам агрегат тоже может рассматриваться как агрегатная модель, то есть разбиваться на элементы следующего уровня.
Любой агрегат характеризуется множествами: моментов времени T, входных X и выходных Y сигналов, состояний агрегата Z в каждый момент времени t. Процесс функционирования агрегата состоит из скачков состояний в моменты поступлений входных сигналов x и изменений состояний между этими моментами. Моменты скачков, не являющиеся моментами поступления входных сигналов называют особыми моментами времени, а состояния особыми состояниями агрегатной схемы. В множестве состояний Z выделяют подмножество, что если достигает, то это состояние является моментом выдачи выходного сигнала y.
Робертс Дискретные Математические Модели
Дискретные математические модели представляют собой электронные цифровые вычислительные машины ЭЦВМ. Они имеют цифровой счет и числа в них выражаются в виде кода совокупностью дискретных физических состояний элементов релейного действия. Вводимые и получаемые зависимости выражаются последовательностью числовых значений величин. Дискретная математическая модель с усреднением может иметь ряд преимуществ. Может случиться, что для некоторых At и AT вектор Нд 0 в пределах заданной точности. Тогда необходимость в определении вероятностных характеристик Нд отпадает.
Кроме того, если значения X и У0 получаются путем измерений, то относительная точность определения Хд и М Уд с ростом М может существенно возрасти. Дискретные математические модели - это модели, в которых все переменные и параметры - дискретные величины. Для решения данной задачи принята дискретная математическая модель. Для их использования необходимо получение соответствующих дискретных математических моделей, что дбстигается заменой дифференциальных уравнений системой алгебраических уравнений и наложением ограничений на переменные в конечном числе узловых точек. Такой подход реализуется проще всего при расчете стержневых систем ( фермы, рамы), при условии что ограничения на величины внутренних усилий имеют вид линейных неравенств, а выражения для определения пластической диссипации соответственно линейны относительно неизвестных скоростей ( приращений) деформации. При выполнении расчетов используются различные варианты прямого и двойственного симплекс-методов 70, 71, 74, 95, 152 и др. , методы определения чебышевской точки системы линейных неравенств 37 и другие вычислительные схемы и алгоритмы.
Какая исходная информация необходима для получения дискретной математической модели возмущений. При построении теории многослойных эластомерных конструкций принята дискретная математическая модель, где деформация каждого слоя описывается своими уравнениями. Такой путь представляется единственно нозможным, поскольку методы осреднения упругих свойств по толщине пакета, используемые в слоистых средах, здесь оказываются непригодными: нормальные тангенциальные напряжения терпят разрыв на поверхностях контакта слоев, отличаясь абсолютной величиной и знаком. Для решения такого рода задач традиционно применяются методы теории электрических цепей с использованием дискретных математических моделей. В зависимости от видов описываемых процессов - непрерывных или дискретных - различают соответственно непрерывные ( аналоговые) и дискретные математические модели. Непрерывные модели описывают дифференцируемые процессы, используя при этом непрерывные функции, системы дифференциальных и интегральных уравнений. Примером дискретных моделей служат математические модели, описывающие процессы, скачкообразно изменяющиеся через определенные промежутки времени.
Разработаны математические модели управления хаотическими колебаниями с обратной связью и без нее в непрерывного процессе массовой кристаллизации двухосновного фосфита свинца с химической реакцией. Дискретная математическая модель такого процесса прогнозирует как периодические, так и хаотические колебания. Показано, что основные уравнения можно преобразованиями привести к уравнениям логистического типа. Расчеты показали, что отображения 1-го порядка этих уравнений имеют дырчатую область в окрестности неподвижной неустойчивой точки ( цикла первого периода) при хаотических колебаниях. Предлагаемая читателям книга известных американских специалистов является первой в мировой литературе, специально по-евященной проблеме построения стохастических моделей систем и процессов по результатам наблюдений. В ней дано систематическое изложение подходов к выбору типа дискретной математической модели для описания наблюдаемого явления, методов приведения уравнений модели к простейшим ( каноническим) формам, методов оценивания неизвестных параметров в уравнениях модели ж методов проверки гипотез об адекватности той или иной модели результатам экспериментов.
При анализе процессов функционирования вероятностных технических систем возникает необходимость моделирования случайных величин и случайных процессов с заданными вероятностными характеристиками. Так как анализ функционирования технической системы на ЭВМ осуществляется численными методами на основе дискретных математических моделей, то внешние воздействия на систему необходимо представить в виде некоторой непрерывной последовательности случайных чисел. Рассмотрим способы формирования такой последовательности случайных чисел с заданными вероятностными характеристиками. Наибольшее применение при моделировании технических систем находит алгоритмический способ. Существуют два основных подхода к синтезу импульсных систем. В том случае, когда период квантования времени мал, расчеты проводятся по непрерывным моделям. Период квантования выбирается из условия сохранения достигнутого при синтезе качества процессов.
Если же в постановке задачи синтеза изначально оговаривается цифровая реализация алгоритма управления с необязательно малым значением периода квантования времени, предусматривается конечная длительность переходных процессов или учитываются другие особенности, присущие дискретным системам, то синтез проводится по дискретным математическим моделям. В процессе проектирования часто оба подхода реализуются многократно для различных значений периода квантования.